INTEGRAL TENTU

Teorema Kalkulus Dasar

  Yang dimaksud dengan teorema dasar kalkulus adalah suatu teorema yang mendasari kalkulus dan harus diingat secara permanen.

Andaikan f fungsi kontinyu pada selang [a,b] dan andaikan F fungsi sebarang anti turunan dari f, maka:

 

Bukti:

    Karena f kontinu pada selang [a,b], maka f terintegegralkan. Andaikan

adalah pasrtisi sebarang pada selang [a,b]. dengan membuat jumlahan yang saling menghapuskan

 

Dengan teorema nilai rata-rata untuk turunan, maka terdapat pada selang bagian 

sedemikian hingga berlaku :

 

                                   

sehingga,   

Karena ruas kiri berupa konstanta, maka berlaku

 

Teorema dasar kalkulus dapat digunakan untuk memperoleh sifat pendefrensialan integral tentu, yaitu:

JIka f kontinu pada selang [a,b] dan x adalah sebuah (variabel) titik dalam [a,b] maka:

                                                      

        Keterangan:

        sebab F(a) adalah                     konstanta.

Contoh:

        

                                                

                                                

untuk beberapa contoh di atas, dapat pula diselesaikan dengan aturan rantai sebagai berikut:

  

karena batas x², maka digunakan aturan rantai, sehingga menjadi      , dimana u = x², dan turunan terhadapnya x dari fungsi bersusun ini adalah :

          

                                                      

                                                       

  Contoh 1

           

Contoh 2 

         

                                           

                                           

                                          = 65,68  

Contoh 3

          Bila |x| menyatakan nilai mutlak, hitunglah   

Jawab: 

         f(x) = |x| berubah nilainya pada titik-titik x = 0, sehingga harus diselesaika sebagai                     berikut:

        

 

Teorema Simtris, Teorema Periodik, dan Teorema Nilai Rata-Rata

a. Teorema Simetri

    Telah diketahui bahwa suatu fungsi genap jika f(-x) = f(x), dan ganjil jika f(-x) = -f(x). Untuk     fungsi yang demikian berlaku:

    (1)   , jika f fungsi genap, 

    (2) , jika f fungsi ganjil.

    Contoh:

   

     

     

    Karena, f(-x) = -f(x), maka    adalah fungsi ganjil, sehingga  

     

b. Teorema Periodik 

    Suatu fungsi adalah periodik jika terdapat suatu bilangan p sedemikian sehingga f(x+p) =            f(x), untuk semua bilangan real dalam daerah definisi f.Bilangan p adalah periode untuk            fungsi periodik tersebut. Jika f suatu periodik dengan periode p, maka :

                                                     

c. Teorema Nilai Rata-Rata Untuk Integral

     Jika f kontinu pada selang [a,b], maka terdapat suatu c diantara a dan b sedemikian sehingga 

                                                          

    Contoh : 

    Carilah nilai c demikian sehingga   

    Jawab : 

    Dari , maka          f(c). 2 = 26/3, yaitu c².2 = 26/3.  

   c = ±1/3 V 39. Untuk c = -1/3 V 39 tidak            memenuhi karena tidak terletak dalam selang [1,3]. Jadi c = 1/3 V 39.