Integral Tak Wajar

Pada kesempatan kali ini kita akan membahas materi mengenai Integral Tak Wajar, Sebelum membahas konsep tentang tentangIntegral Tak Wajar,kita ingat kembali teorema dsar kalkulus pada Integral Tertentu.

Teorema:

Misal f(x) adalah fungsi yang kontinu dan terintegralkan pada I = [a,b], dan F(x) sebarang antiturunan pada I, maka

  

Contoh:  

1.  

                            

                            = -4-0 = -4  

2.  

                          

                        

 3. , tidak dapat diselesaikan dengan teorema di atas karena ini integran         tidak terdefinisi pada x = 1. 

 4. , tidak dapat diselesaikan dengan teorema di atas, karena integran    tidak                    terdefinisi di x = 0 

    Dengan demikian tidak semua integral fungsi dapat diselesaikan dengan teorema dasar kalkulus. Persoalann-persoalan integral seperti pada contoh 3 dan 4 dikategorikan sebagai integral tidak wajar.

 

Bentuk    disebut Integral Tidak Wajar jika: 

a. Integran f(x) mempunyai sekurang-kurangnya satu titik yang tidak kontinu (diskontinu) di [a,b], sehingga mengakibatkan f(x) tidak terdefinisi di titik tersebut.

 Pada kasus teorema dasar kalkulus    tidak berlkau lagi. 

Contoh: 

1. tidak kontinu di batas atas x = 4 atau f(x) kontinu di [0,4]

 2. tidak kontinu di batas bawah x = 1 atau f(x) kontinu di [1,2] 

3. tidak kontinu di x = 2 [0,4] atau f(x) kontinu di  

b. Batas integrasinya paling ssedikit memuat satu tanda tak hingga 

1. , integran f(x) memuat batas atas di  

2. , integran f(x) memuat batas bawah di  

3. , integran f(x) memuat batas atas di dan batas bawah di  

    Pada contoh a (1,2,3) adalah integral tak wajar dengan integran f(x) tidak kontinu dalam batas-batas pengintegralan, sendangkan pada contoh b (1,2,3) adalah integral tak wajar integran f(x) mempunyai batas di tak hingga.

    integral tak wajar selesaiannya dibedakan menjadi Integral tak wajar dengan integran tidak kontinu Integral tak wajar dengan batas integrasi di tak hingga.

3.2 Integral tak wajar dengan integran diskontinu

a. f(x) kontinu di [a,b) dan tidak kontinu di x = b

Karena f(x) tidak kontinu di x = b, maka sesuai dengan syarat dan definisi integral tertentu integran harus ditunjukkan kontinu di  , sehingga 

  

Karena batas atas , maka 

 

Perhatikan contoh di bawah ini.

1. tidak kontinu di batas atas x = 4, sehingga   

                           

                           

                            

                          = -2(0-2)   = 4 

Cara lain 

 

                      

                       

                     = -2(0)+2(2)   = 4

b. f(x) kontinu di (a,b] dan tidak kontinu di x = a 

    Karena f(x) tidak kontinu di x = a, maka sesuai dengan syarat dan definisi integral terntentu integrannya harus ditunjukkan kontinu di  , sehingga 

  

Karena batas bawah    maka dapat dinyatakan dalam bentuk lain: 

  

Perhatikan contoh dibawah ini. 

1.  

                        

                          

                          = 6(1) - 6(0) = 6

c. f(x) kontinu 

dan tidak kontinu di x = c Karena f(x) tidak terdefinisi di x = c, maka sesuai dengan syarat dan definisi integral tertentu inetgrannya harus ditunjukkan kontinu di , sehingga 

 

                     

 Dapat dinyatakan dengan  

  

Perhatikan contoh dibawah ini. 

1. tidak kontinu di x = 1, sehingga diperoleh 

 , berdasarkan contoh sebelumnya didapat: