APLIKASI INTEGRAL TERTENTU-VOLUME BENDA PUTAR

Pada kesempatan ini kita akan melanjutkan

materi Aplikasi Integral Tertentu mengenai Volume Benda Putar.

B. Volume Benda Putar

Apa yang disebut dengan volume? Kita mulai dengan benda-pejal sederhana yang disebut silinder tegak, empat diantaranya diperlihatkan pada Gambar di bawah. Dalam tiap kasus, benda itu dibentuk dengan cara menggerakkan suatu daerah rata (alas) sejauh h dengan arah tegak lurus pada daerah tersebut. Dan dalam tiap kasus, volume benda-pejal didefinisikan sebagai luas alas A dikalikan tinggi h, yaitu:

V = A . h

Berikut penjelasan sebuah benda-pejal yang penampang-penampangnya tegak lurus dengan suatu garis memiliki luas yang diketahui. Khususnya, misalkan garis tersebut adalah sumbu-x dan misalkan bahwa luas penampang pada x adalah A(x) dengan a ≤ x ≤ b. Kita partisikan interval [a,b] dengan menyisipkan titik-titik $https://latex.codecogs.com/svg.image?\small a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<...<x_{i}=b$ . Kemudian kita lewakan bidang-bidang melaului titik-titik ini tegak lurus pada sumbu-x, sehingga mengiris benda menjadi lempengan-lempengan tipis. Volume ∆V suatu lempengan kira-kira sama dengan volume satu silinder, yaitu

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\small \Delta V_{i}= A(\bar{x_{i}})\Delta x_{i}$

(ingat bahwa $https://latex.codecogs.com/svg.image?\small \bar{x_{i}}$ disebut titik sampel, adalah sebarang bilangan dalam interval $https://latex.codecogs.com/svg.image?\small \left [ x_{i-1},x_{i}\right ]$ .) Volume V dari benda-pejal dapat diaproksimasikan dengan jumlah Riemann

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\small V\approx \sum_{i=1}^{n}A(\bar{x_{i}})\Delta x_{i}$

Ketika norma partisi mendekati nol, diperoleh integral tertentu yang didefinisikan sebagai volume benda-pejal

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\small V=\int_{a}^{b}A(x)dx$

a. Pemutaran mengelilingi sumbu X

Misal R adalah luasan yang dibatasi oleh y = f(x), x = a, x = b. Selanjutnya R diputar mengelilingi sumbu-x. Lintasab kurva karena mengelilingi sumbu-x membentuk bangun berupa benda padat (pejal), yang dapat diiris menjadikan lempengan-lempengan. Volume ∆V suatu lempengan kita-kira sama dengan volume suatu silinder, yaitu

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\small \Delta V_{i}= A(\bar{x_{i}})\Delta x_{i}$

Volume V dari benda-pejal dapat diaproksimasikan dengan jumlah Riemann

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\small V\approx \sum_{i=1}^{n}A(\bar{x_{i}})\Delta x_{i}$

Ketika norma partisi mendekati nol, diperoleh integral tertentu yang didefinisikan sebagai volume benda-pejal

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\small V=\int_{a}^{b}A(x)dx$

Jika R dibatasi oleh dua kurva, yaitu $https://latex.codecogs.com/svg.image?\small y_{1}=f(x), y_{2}=g(x), x=a, x=b.$ Dengan Selanjutnya R diputas mengelilingi sumbu-x, maka terbentuk benda-pejal yang volumenya dapat didekati dengan menggunkan integral tertentu, yaitu :

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\small V=\pi \int_{a}^{b}(y_{1}^{2}-y_{2}^{2}) dx$

b. Pemutaran mengelilingi sumbu Y

Misal r adalah luasan yang dibatasi oleh x = f(y), y = c, y = d. Selanjutnya R diputar mengelilingi sumbu-y. Lintasan kurva akan membentuk bangun berupa benda-pejal. Benda volumenya dapat didekati dengan menggunakan integral tertentu yaitu:

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\small V = \pi \int_{c}^{d}x^{2}dy$

Jika R dibatasi oleh dua kurva, yaitu $https://latex.codecogs.com/svg.image?\small x_{1}=f(y), x_{2}=g(y), y=c, y=d.$ Dengan

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\small x_{1}\geq x_{2}.$ Selanjutnya R diputar mengililingi sumbu-y, maka terbentuk benda-pejal yang volumenya dapat didekati dengan menggunakan integral tertentu yaitu :

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\small V=\pi \int_{c}^{d}(x_{1}^{2}-x_{2}^{2}) dy$

Benda putar yang sederhana dapat kita ambil contoh adalah tabung dengan besar volume adalah hasilkali luas alas (luas lingkaran) dan tinggi tabung. Bila luas alas dinyatakan dengan A(x) dan tinggi benda putar adalah panjang selang [a,b], maka volume benda putar dapat dihitung menggunakan integral tentu sebagai berikut:

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\small V=\int_{a}^{b}A(x)dx$

Untuk mendapatkan volume benda putar yang terjadi karena suatu daerah diputar terhadap suatu sumbu, dapat dilakukan dengan menggunakan tiga buah metode, yaitu metode cakram, metode cincin dan metode kulit silinder.

1. Metode Cakram

Misal daerah dibatasi oleh y = f(x), y = 0, x = 1, dan x = b diputar terhadap sumbu-x.Volume benda-pejal tersebut/padat yang terjadi dapat dihitung dengan memandang bahwa volume benda-pejal tersebut merupakan jumlah tak berhingga cakram yang berpusat di titik-titik pada selang [a,b].

Misal pusat cakram $https://latex.codecogs.com/svg.image?\small (x_{0},0)$ dan jari-jari $https://latex.codecogs.com/svg.image?\small r=f(x_{0})$ . Maka luas cakram dinyatakan:

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\small A(x_{0})=\pi (f(x_{0}))^{2}=\pi f^{2}(x_{0})$

Oleh karena itu, volume benda putar:

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\small V=\int_{b}^{a}\pi (f(x))^{2}dx=\pi \int_{a}^{b}(f(x))^{2}dx$

Bagaimana bila grafik fungsi mengelilingi sumbu-y? Apabila grafik fungsi dinyatakan dengan x=g(y), x=0, y=c, y=d diputar mengelilingi sumbu-y. maka volume benda putar:

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\small V=\int_{b}^{a}\pi (f(x))^{2}dx=\pi \int_{a}^{b}(f(x))^{2}dx$

Bagaimana bila pada dua kurva? Bila daerah yang dibatasi oleh

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\small y=f(x)\geq 0,y=g(x)\geq 0, f(x)\geq g(x)$ untuk setiap $https://latex.codecogs.com/svg.image?\small x\epsilon [a,b]$ x = a dan x = b diputar terhadap sumbu-x, maka volume :

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\small V\int_{a}^{b}\pi ((f(x))^{2}-(g(x))^{2}) dx$

Bila daerah yang dibatasi oleh $https://latex.codecogs.com/svg.image?\small x=f(y)\geq 0,x=g(y)\geq 0, f(y)\geq g(y)$ untuk setiap $https://latex.codecogs.com/svg.image?\small y\epsilon [c,d]$ x = c dan x = d diputar terhadap sumbu-y, maka volume :

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\small V\int_{c}^{d}\pi ((f(y))^{2}-(g(y))^{2}) dy$

2. Metode Cincin

Metode cincin merupakan metode yang dibentuk oleh hasil putaran persegi panjang terhadap sumbu putaran tertentu (sumu putaran tidak berimpit dengan sisi persegi panjang), seperti pada gambar berikut

Jika r dan R secara berturut-turut merupakan jari-jari dalam dan luar dari cincin dan merupakan ketebalan cincin, maka volumenya dapat ditentukan sebagai berikut.

V = π(R² - r²) t

Untuk mengetahui bagaimana konsep ini dapat digunakan untuk menentukan volume benda putar, perhatikan daerah yang dibatasi oleh jari-jari luar R (x) dan jari-jari dalam r(x), seperti yang ditunjukkan gambar di bawah ini.

Jika daerah tersebut diputar menurut sumbu putar yang diberikan, volume benda putar yang di hasilkan adalah

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\small V=\pi \int_{a}^{b}\left [ ((R(x))^{2}-(r(x))^{2}) \right ]dx$

3. Metode Kulit Silinder

Metode Kulit silindr sebagai alternatif lain dalam perhitungan volume benda putar yang mungkin lebih mudah diterapkan bila kita bandingkan dengan metode cakram atau metode cincin. Benda putar yang terjadi dapat dipandang sebagai tabung dengan jari-jari kulilt luar dan dalamnya berbeda, maka volume yang akan dihitung adalah volume dari kulit tabung. Untuk lebih memperjelas kita lihat uraian berikut.

Pandang tabung denga jari-jari kulit dalam dan kulit luar berturut-turut $https://latex.codecogs.com/svg.image?\small r_{1}$ dan $https://latex.codecogs.com/svg.image?\small r_{2}$ tinggi tabung h Maka volume kulit tabung adalah:

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\small \Delta V = (\pi r_{2}+\pi r_{1})h=2\pi r\Delta r$

dengan: $https://latex.codecogs.com/svg.image?\small \frac{r_{2}+r_{1}}{2}=r(rata-rata, jari-jari); r_{2}+r_{1}=\Delta r$ .

Bila daerah dibatasi oleh kurva y = f(x), y = 0, x = a, x = b diputar mengelilingi sumbu-y, maka kita dapat memandang bahwa jari-jari r = x dan ∆r = ∆x dan tinggi tabung h = f(x). Oleh karena itu volume benda putar yang terjadi adalah

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\small V=\int_{a}^{b} 2\pi x f(x)dx$

Misal daerah dibatasi oleh kurva $https://latex.codecogs.com/svg.image?\small y=f(x)\geq 0,y=g(x)\geq 0, f(x)\geq g(x)$ , $https://latex.codecogs.com/svg.image?\small x\epsilon [a,b]$ , x = a dan x = b diputar mengelilingi sumbu-y. Maka, volume benda putar yang didapat dinyatakan dengan

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\small V=\int_{a}^{b} 2\pi x (f(x)-g(x))dx$

Bila daerah dibatasi dengan grafik yang dinyatakan dengan x = f(y), x = 0, y = c, y = d diputar mengelilingi sumbu-x. Maka, volume benda putar yang didapat dinyatakan dengan

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\small V=\int_{c}^{d} 2\pi y f(y)dy$

Sedang untuk daerah yang dibatasi oleh x = f(y), x = g(y), f(y) ≥ g(y), $https://latex.codecogs.com/svg.image?\small y\epsilon [c,d]$ , y = c dan y = d diputar mengelilingi sumbu-x. Maka, volume benda putar yang didapat dinyatakan dengan

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\small V=\int_{c}^{d} 2\pi y (f(y)-g(y))dy$

nurazizahnurdin

Cari Blog Ini

APLIKASI INTEGRAL TERTENTU-VOLUME BENDA PUTAR

Komentar

Posting Komentar