APLIKASI INTEGRAL TERTENTU-LUAS DAERAH BIDANG DATAR

Matrei ini membahasa hal-hal pokok yang berkaitan dengan aplikasi integral tertentu, antara lain : (1) luas suatu luasan, (2) volume benda putar, (3) menemukan panjang busur dan (4) luas permukaan.

Integral tertentu dengan berbgai macam sifat-sifatnya telah dibahas pada pasal sebelumnnya dapat digunakan untuk menemukan selesaian masalah-masalah praktis dalam kehidupan nyata. Beberapa diantara penggunaan integral yang di bahas dalam bahasaan ini adalah menentukan luas suatu luasan, menghitung volume benda pejal, menentukan panjang busur suatu kurva yang telah ditentukan persamaannya, dan menentukan luas permukaan benda putar.

Untuk memperjelas masing-masing pembahasan tentang penggunaan integral tertentu, dapat menggunakan beberapa ilustrasi dan gambar yang diharapkan gambar tersebut akan memudahkan pembaca untuk memahaminya. Pembahasan selengkapnya adalah sebagai berikut:

A. Luas Suatu Luasan

Luasan didefinisikan sebagai suatu daerah dalam bidang XOY dengan persamaan y = f(x) atau x = g(y) atau y = f(x), x = g(y) yang berbatasan dengan sumbu-sumbu koordinat atau garis yang sejajar sumbu koordinat. Luasan dalam bidang dapat dikelompokkan menjadi luasan positif dan luasan negatif. Luasan positif adalah luasan denga persamaan y = f(x) dan sumbu-sumbu koordinat yang terletak di atasa sumbu-x atau luasan dengan persamaan x = g(y) dan sumbu-sumbu koordinat yang terletak disebelah kanan sumbu-y. Berikut ini gambar luasan positif.

Luasan negatif adalah luasan dengan persamaan y = f(x) dan sumbu-sumbu koordinat yang terletak di bawah sumbu-x atau luasan dengan persamaan x = g(y) dan sumbu0sumbu koordinat yang terletak disebelah kiri sumbu-y. Berikut ini gambar luasan negatif.

Luasan postitif dan negatif sebagaimana telah dijelaskan di atas, pembatasan juga dapat terjadi bukan hanya satu kurva tetapi dapat juga berupa dua kurva sekaligus, misalnya

$https://latex.codecogs.com/svg.image?y_{2}=f(x)$ dan $https://latex.codecogs.com/svg.image?y_{2}=g(x)$ . Pembahasan ini diawali dengan mennetukan luas luasan menggunakan integral untuk daerah yang dibatasi oleh satu kurva.

a. Daerah antara Kurva dan Sumbu Koordinat.

Perhatikan gambar luasan dibawah ini

R sebagaimana terlihat pada Gambar adalah luasan yang dibatasi oleh kurva-kurva y = f(x), x = a, x = b. Dengan menggunakan integral tertentu luasa luasan R dinyatakan dengan

$https://latex.codecogs.com/svg.image?A(R)=\int_{a}^{b}f(x)dx$

Jika luasan tereltak dibawah sumbu-x, maka integral tertentu di atas bernilai negatif, karena luas daerah tidak mungkin bilangan negatif maka nilai integral tersebut di mutlakkan. sehingga luas luasan daerah negatif dinyatakan dalam bentuk

$https://latex.codecogs.com/svg.image?A(R)=\int_{a}^{b}-f(x)dx=\left|\int_{a}^{b}f(x)dx \right|$

Untuk menghitung luas luasan dengan integral tertentu dapat diikuti langkah-langkah sebagai berikut:

a) Sketsakan daerah yang akan ditentukan luasanya sehingga tampak jelas batas-batasannya dan mudah dilihat.

b) Buatlah garis-garis yang sejajar sumbu-x atau sumbu-y, selanjutnya irislah (bagi) luasan dalam bidang yang disebut partisi dan berikan nomor pada masing-masing partisi yang terbentuk.

c) Aproksimasikan luas masing-masing partisi tertentu dengan menganggapnya sebagai persegi panjang.

d) Jumlahkan aprolsimasi dari luas masing-masing partisi pada luasan yang telah dibentuk.

e) Dengan menggunkan limit dari jumlah luas partisi dengan lebar masing-masing pasrtisi menuju 0, maka diperoleh integral tertentu yang merupakan luas luasan.

Contoh 1

Susunlah integral untuk daerah di bawah kurva $https://latex.codecogs.com/svg.image?y=1+\sqrt{x}$ di antara x = 0 dan x = 4.

3. Aproksimasikan luas irisan khas : $https://latex.codecogs.com/svg.image?\Delta A_{i}= (1+\sqrt{x_{i}})\Delta A_{i}$

4. jumlahkan : $https://latex.codecogs.com/svg.image?A(R)\approx \sum_{i=1}^{n}(1+\sqrt{x_{i}})Ax_{i}$

5. ambil limit : $https://latex.codecogs.com/svg.image?A(R)= \int_{0}^{4}(1+\sqrt{x_{i}})dx$

Jawab:

Begitu kita memahami prosedur lima langkah ini, kita dapat menyingkatnya menjadi tigas langkah : iris, aproksimasikan, integrasikan. Pikirkan kata integrasikan sebagai gabungan dua langkah : (1) jumlah irisan dan (2) ambil limit ketika lebar irisan menuju nol. Dalam proses

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\small \sum ...\Delta x$ berubah menjadi $https://latex.codecogs.com/svg.image?\small \int ... dx$ ketika kita mengambil limit. gambar berikut memberikan bentuk yang diringkas untuk masalah yang sama.

Contoh 2

Segitiga ABC terletak pada XOY, titk-titik sudutnya dinyatakan dalam koordinat kartesius yaitu A(0,0), B(3,0) dan C(3,7). Denga menggunakan integral teretntuk tentukan luas segtiga ABC.

Jawab:

Gambar segitiga ABC adalah

Persamaan garis AC dinyatakan dengan rumus

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\small \frac{y-y_{A}}{x-x_{A}}=\frac{y_{C}-y_{A}}{x_{C}-x_{A}}$

Diperoleh persamaan $https://latex.codecogs.com/svg.image?\small \frac{y-0}{x-0}=\frac{7-0}{3-0}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\small 3y = 7x \vee y=\frac{7}{3}x$

Sehingga luas yang dicari dinyatakan dengan $https://latex.codecogs.com/svg.image?A(R)=\int_{a}^{b}f(x)dx$

b. Daerah antara dua kurva

Daerah antara dua kurva adalah luasan yang pembatasnya adalah y = f(x) dan y = g(x) dengan $https://latex.codecogs.com/svg.image?\small f(x)\geq g(x)$ pada selang [a,b]. Seperti halnya luasan yang dibatasi oleh satu kurva, luasan yang dibatasi dua kurva dapat berupa luasan positif dan negatif. Dengan demikian aturan menentukan luasan dengan integral pada luasan yang dibatasi satu kurva juga berlaku untuk luasan yang dibatasi oleh dua kurva.

Perhatikan Gambar berikut.

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\small \Delta A\approx (f(x)-g(x))\Delta A$

Sehingga luasan dinyatakan dengan :

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\small A(R) = \int_{a}^{b}(f(x)-g(x))dx$

Rumus di tasa berlaku untuk luasan di atas sumbu-x, jika luasannya disebelah kanan sumbu-y, maka luas luasan yang dibatasi oleh dua kurva dinyatakan dengan

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\small A(R) = \int_{a}^{b}(f(y)-g(y))dx$