INTEGRAL TENTU

Pada kesempatakan kali ini kita akan membahas materi tentang Integral Tentu. Seperti halnya garis singgung yang mendasari turunan, masalah luas merupakan dasar untuk pembahasan integral tentu khusu luas poligon, baik poligon dalam maupun poligon luar yang dapat dibuat pada bidang datar, didasarkan atas rumus luas persegi panjang.

1. Luas Menurut Poligon Dalam

Sebagai contoh, akan dicari L(P) Luas Daerah datar yang dibatasi oleh kurva y=f(x)=x², sumbu -x, garis x = 0 dan x = 2. Pertama dipartisikan selang 0 ≤ x ≤2 atas selang bagian yang sama dengan panjang ∆x = 2/n, dan memakai titik-titik :

$https://latex.codecogs.com/svg.image? 0=x_{0}<x_{1}<x_{2}<...<x_{n-1}<x_{n}=2$ , sehingga

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x_{0}=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x_{1}=0+\Delta x=2/n=1(2/n)$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x_{2}=0+\Delta x=4/n=2(2/n)$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x_{3}=0+3\Delta x=6/n=3(2/n)$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x_{n}=0+n\Delta x=n(2/n)=2$

Pada gambar tampak bahwa L(P)_{dalam}<L(P)_{luar}

Luas poligon dalam :

$https://latex.codecogs.com/svg.image? L(P_{dalam}) = f(x_{0})\Delta x+f(x_{1})\Delta x+f(x_{2})\Delta x+...+f(x_{n-1)\Delta x$

$https://latex.codecogs.com/svg.image? L(P_{dalam}) = (0)^{2}(2/n)+(1(2/n))^{2}(2/n)+...+(n-1)(2/n)^{2}(2/n)$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=(2/n)^{3}(0^{2}+1^{2}+2^{2}+...+(n-1)^{2})$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=(2/n)\sum_{i=0}^{n-1}i^{2}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=(2/n)^{3}(1/6(n-1)(n)(2n-1))$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=8/3-4/n+4/3n^{2}$

Sehingga,

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\displaystyle \lim_{n \to \infty }L(P_{dalam})=\displaystyle \lim_{n \to \infty }(8/3-4/n+4/3n^{2})=8/3$

Luas poligon luar :

$https://latex.codecogs.com/svg.image?L(P_{luar})=f(x_{1})\Delta x+f(x_{2})\Delta x+f(x_{3})\Delta x+...+f(x_{n})\Delta x$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=(1(2/n)^{2}(2/n)+(2(2/n))^{2}(2/n))+...+(n(2/n)^{2}(2/n))$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=(2/n)^{3}(1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2})$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=(2/n)^{n}\sum_{i=1}^{n}i^{2}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=(2/n)^{3}(1/6n(n+1)(2n+1))$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=8/3+4/n+4/3n^{2}$

Sehingga,

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\displaystyle \lim_{n \to \infty }L(P_{luar})=\displaystyle \lim_{n \to \infty }(8/3+4/n+4/3n^{2})=8/3$

Menurut teorema apit, maka untuk $https://latex.codecogs.com/svg.image?L(P_{dalam})<L(P_{Luar}) didapat L(P=8/3)$ . Selanjutnya, diambil suatu fungsi f yang terdefinisi pada selang [a,b]. Partisipasikan selang [a,b] atas n selang bagian (tidak harus sama panjang) dengan memakai titik-titik:

$https://latex.codecogs.com/svg.image?a=X_{0}<X_{1}<X_{2}.......<X_{n-1}<X_{n}=b,\Delta X_{i}=X_{i}-X_{i-1}$ (jarak antara titik $https://latex.codecogs.com/svg.image?X_{i-1}$ dengan $https://latex.codecogs.com/svg.image?X_{i}$ ). Pada setiap selang bagian $https://latex.codecogs.com/svg.image?(X_{i-1},X_{1})$ dipilih titik sebarang

(boleh titik ujung), misalnya $https://latex.codecogs.com/svg.image?\bar{X_{i}}$ sebagai berikut:

Sebuah partisi dri [a,b] dengan 5 selang bagian,

Jumlah :

$https://latex.codecogs.com/svg.image?R_{p}=\sum_{i=0}^{n}f(x_{i})\Delta x_{i}$ disebut jumlah Rieman dari suatu selang dengan partis.

Dari pembahasan di atas dengan memisalkan |P| menyatakan norma P, yaitu panjang selang bagian terpanjang dari pasrtisi P, maka dapat dibuat definisi sebagai berikut:

Andaikan f suatu fungsi yang terdiri dari ada selang [a,b]. Jika nilai

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\displaystyle \lim_{|P| \to 0} \sum_{i=1}^{n}f(\bar{x_{i}})\Delta x_{i}$ ada, maka dikatakan bahwa f terintegralkan pada [a,b], dan ditulis sebagai $https://latex.codecogs.com/svg.image?\int_{a}^{b}f(x)dx=\displaystyle \lim_{|P| \to 0} \sum_{i=0}^{n}f(\bar{x_{i}})\Delta x_{i}$ , yang disebut integral tentu (atau integral Rieman) f dari a ke b.

Pada lambang $https://latex.codecogs.com/svg.image?\int_{a}^{b}f(x)dx$ , a disebut bawah, dan b diseut batas atas dari integral tersebut.

Dalam definisi $https://latex.codecogs.com/svg.image?\int_{a}^{b}f(x)dx$ , secara implisit kita menganggap bahwa a<b. Menghilangkan batasan itu dengan definisi-definisi berikut.

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\int_{a}^{b}f(x)dx=0$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\int_{a}^{b}f(x)dx=-\int_{a}^{b}f(x)dx, a>b$

Contoh

Hitung luas poligon yang dibatasi oleh kurva y=1/2 x, sumbu x, garis x=2 dan x=4, jika daerah poligon tersebut dibagi atas 5 poligon bagian yang sama.

Jawab :

Karena selang [2,5] dipartisi atas 5 selang bagian yang sama, maka ∆x = (4-2)/5=2/5, dan

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x_{0}=2$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x_{1}=2+1\Delta x=2+2/5=12/5$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x_{2}=2+2\Delta x=2+4/5=14/5$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x_{3}=2+3\Delta x=2+6/5=16/5$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x_{4}=2+4\Delta x=2+8/5=18/5$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?x_{5}=2+5\Delta x=2+10/5=4$

Luas poligon dalam :

$https://latex.codecogs.com/svg.image?L(P_{Dalam})= f(x_{0})\Delta x+f(x_{1})\Delta x+f(x_{3})\Delta x+f(x_{4})\Delta x$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=(\frac{1}{2})(2)(\frac{2}{5})+(\frac{1}{2})(\frac{12}{5})(\frac{2}{5})+(\frac{1}{2})(\frac{14}{5})+(\frac{1}{2})(\frac{16}{5})(\frac{2}{5})+(\frac{1}{2})(\frac{18}{5})(\frac{2}{5})$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\left ( \frac{12}{25} \right )+\left ( \frac{14}{5} \right )+\left ( \frac{18}{25} \right )+\left ( \frac{18}{25} \right )+\left ( \frac{20}{25} \right )$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\left ( \frac{80}{25} \right )$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\left ( \frac{16}{5} \right )$

nurazizahnurdin

Cari Blog Ini

INTEGRAL TENTU

Komentar

Posting Komentar