INTEGRAL FUNGSI RASIONAL KUADRAT

Integral Fungsi Rasional Kuadrat

Selain dalam bentuk penyebut integran dinyatakan dalam faktor linear berbeda dan berulang, dapat juga difaktorkan dalam kombinasi linear dan kuadrat, artinya penyebut dapat difaktorkan dalam bentuk kombinasi linear dengan kuadrat dengan kuadrat. Selanjutnya integran dengan bentuk seperti ini dijadikan jumlah pecahan n persial $https://latex.codecogs.com/svg.image?\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{ax+b}+\frac{Bx+C}{px^{2}+qx+r}$ , berdasarkan jumlah tersebut dapat ditentukan A, B, dan C.

Contoh :

Tentukanlah $https://latex.codecogs.com/svg.image?\int\frac{2x^{2}-x+4}{x^{3}+4x}dx$

Penyelesaian :

Penyebut dapat ditulis $https://latex.codecogs.com/svg.image?x^{3}+4x=x(x^{2}+4)$ sudah tidak bisa difaktorkan lagi sehingga dapat kita

tuliskan, $https://latex.codecogs.com/svg.image?\frac{2x^{2}-x+4}{x^{2}+4x}=\frac{2x^{2}-x+4}{x(x^{2}+4x)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^{2}+4}$

kita mengalikan bentuk diatas dengan $https://latex.codecogs.com/svg.image?x(x^{2}+4)$ pada kedua ruas akan diperoleh,

$https://latex.codecogs.com/svg.image?2x^{2}-x+4=A(x^{2}+4)+(Bx+C)$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?2x^{2}-x+4=(A+B)x^{2}+Cx+4A$

Dengan menyamakan koefisien, kita peroleh

$A + B = 2, C = - 1, 4 A = 4$

Dari persamaan tersebut diselesaikan sehingga diperoleh A = 1, B = 1, dan C = -1

sehingga,

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\int\frac{2x^{2}-x+4}{x^{3}+4x} dx = \int \left [ \frac{1}{x}+\frac{x-1}{x^{2}+4} \right ] dx$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\int \frac{dx}{x}+\int \frac{x}{x^{2}+4}dx-\int \frac{dx}{x^{2}+4}$ \

Perhatikan integral $https://latex.codecogs.com/svg.image?\int \frac{dx}{x^{2}+4}$ yang dapat dituliskan $https://latex.codecogs.com/svg.image?\int \frac{dx}{x^{2}+4}=\int \frac{dx}{4((\frac{x}{2})^{2}+1)}$

Dengan memisalkan $https://latex.codecogs.com/svg.image?u=\frac{x}{2}$ maka $https://latex.codecogs.com/svg.image?du=\frac{dx}{2}$ sehingga $https://latex.codecogs.com/svg.image?\int \frac{dx}{x^{2}+4}$ adalah

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\int\frac{dx}{x^{2}+4}=\frac{1}{2}\int \frac{du}{u^{2}+1}=\frac{1}{2} tan^{-1}u$

jadi $https://latex.codecogs.com/svg.image?\int\frac{2x^{2}-x+4}{x^{3}+4x} dx = ln |x|+\frac{1}{2}|x^{2}+4|-\frac{1}{2}tan^{-1} (\frac{x}{2})+C$ .

nurazizahnurdin

Cari Blog Ini

INTEGRAL FUNGSI RASIONAL KUADRAT

Integral Fungsi Rasional Kuadrat

Komentar

Posting Komentar