INTEGRAL PERSIAL

Kita sudah mempelajari materi-materi sebelumnya, kali ini kita akan membahas materi integral persial.

Secara umum integral persial digunakan untuk menentukan selesaian integral yang integrannya merupakan perkalian dua fungsi uv, dimana u = f(x) dan v = g(x).

y =uv diperoleh

dy =d(uv)

d(uv) = u dv + v du

dengan menintegralkan masing masing bagian diperoleh

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\int d (uv) = \int udv + \int vdu$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\leftrightarrow \int udv = \int d(uv)-\int vdu$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\leftrightarrow \int u dv = uv-\int vdu$

Bentuk terakhir ini dinamakan rumus integral persial. Prinsip yang digunakan dalam integral persial adalah integral yang berbentuk uv di manipulasi menjadi u dv dan dalam menentukan u dv tidak boleh memunculkan persoalan yang lebih sulit dibandingkan dengan $https://latex.codecogs.com/svg.image?\small \int udv$ tersebut.

Contoh

1. Tentukan $https://latex.codecogs.com/svg.image?\int x sin x dx$

Penyelesaian:

Berdasarkan soal tersebut kita dapat tuliskan xsin x dx = u dv. kita misalkan u = x dan dv = sin x dx, maka kita peroleh du = dx dan $https://latex.codecogs.com/svg.image?\small v = \int sin x dx = -cosx$ (dalam hal ini konstanta sementara kita hilangkan). Selanjutnya kita bawa ke rumus integral persial seperti berikut ini.

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\small \int x sin x dx = -x cos x -\int (-cosx)dx$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\small = -x cos x + \int cos x dx$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\small = -x cos x + sin x + C$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\small \int x sin x dx = -x cos x + sin x + C$

2. $https://latex.codecogs.com/svg.image?\small \int x \sqrt{1+x dx}$

Pilih u = x, du = dx

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\small dv = \sqrt{1+x},v = \int \sqrt{1+x} dx = \frac{2}{3}\sqrt[3]{1+x}$

Sehingga $https://latex.codecogs.com/svg.image?\small \int \sqrt{1+x} dx = \int x d (\frac{2}{3}\sqrt[3]{1+x})$

Berdasarkan rumus integral persial

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\small \int udv = uv-\int v du$ , diperoleh

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\small \int \sqrt{1+x} dx = \int x d (\frac{2}{3}\sqrt[3]{1+x})$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\small =\frac{2x}{3}\sqrt[3]{1+x}-\int \frac{2}{3}\sqrt[3]{1+x}d(x)$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\small =\frac{2x}{3}\sqrt[3]{1+x}-\int \frac{2}{3}\sqrt[3]{1+x}dx$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\small =\frac{2x}{3}\sqrt[3]{1+x}-\int \frac{2}{4}\sqrt[3]{(1+x)^{4}}dx$

3. $https://latex.codecogs.com/svg.image?\small \int sin x e^{x} dx$

Pilih u = sin x maka du = d(sinx) = cos x dx

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\small dv = e^{x} dx , v = e^{x}$ , sehingga :

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\small \int sin x e^{x} dx = \int sin x d (e^{x})$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\small = e^{x} sin x -\int e^{x} d (sinx)$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\small = e^{x} sin x -\int e^{x} cos x dx$

Diperoleh bentuk $https://latex.codecogs.com/svg.image?\small e^{x} cos x dx$ yang juga diselesaikan dengan metode persial

Pilih u = cosx, du = d (sinx) = cos x dx

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\small dv = e^{x}dx, v= \int e^{x} dx = e^{x}$ , sehingga :

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\small \int cos x e^{x} dx = \int cos x d (e^{x})$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\small = e^{x} cos x -\int e^{x} d (cos x )$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\small = e^{x} cos x -\int e^{x}(-sinx)dx$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\small = e^{x} cos x + \int e^{x}sinxdx$

Akhirnya diperoleh

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\small \int sin x e^{x} dx = e^{x} sin x-\int e^{x} cos x dx$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\small = e^{x} sin x - e^{x} cos x - \int e^{x} sin x dx$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\small = \frac{1}{2}e^{x} sin x - \frac{1}{2}e^{x} cos x + C$

nurazizahnurdin

Cari Blog Ini

INTEGRAL PERSIAL

Komentar

Posting Komentar