INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI SUBSTITUSI

Sebelumnya kita sudah membahas tentang materi integral fungsi trigonometri, nah pada kali ini kita akan membahas materi tentang integral substitusi trigonometri.

Teknik substitusi fungsi trigonometri digunakan untuk menyelesaikanintegral jika integralnya memuat bentuk-benttuk berikut:

a. $https://latex.codecogs.com/svg.image?\sqrt{a^{2}-x^{2}}, a>0, a \epsilon Real$
b. $https://latex.codecogs.com/svg.image?\sqrt{x^{2}-a^{2}}=\sqrt{a^{2}+x^{2}}, a>0,a \epsilon Real$

c. $https://latex.codecogs.com/svg.image?\sqrt{x^{2}-a^{2}}, a>0,a \epsilon Real$

atau bentuk lain yang dapat diubah menjadi bentuk di atas, misalnya

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\sqrt{a^{2}-b^{2}x^{2}}= \sqrt{(\frac{a}{b})^{2}-x^{2}}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\sqrt{a^{2}+b^{2}x^{2}}= \sqrt{(\frac{a}{b})^{2}+x^{2}}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\sqrt{a^{2}x^{2}-b^{2}}=\sqrt{x^{2}-(\frac{a}{b})^{2}}$
atau $https://latex.codecogs.com/svg.image?\sqrt{a^{2}x^{2}+bx+c}$ yang dapat diubah menjadi bentuk kuadrat sempurna.

Bentuk integrannya,

1. $https://latex.codecogs.com/svg.image?\sqrt{a^{2}-x^{2}$ gunakan substitusi

x = a sin t atau sin t = $https://latex.codecogs.com/svg.image? \frac{x}{a}$

x = a sin t <=> dx = a cos t dt

Dengan $https://latex.codecogs.com/svg.image?-\frac{\pi }{2} \leq t\leq \frac{\pi }{2}$ sehingga,

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\sqrt{a^{2}-x^{2}}= \sqrt{a^{2}-(a sin t)^{2}}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?= \sqrt{a^{2}-(1- sin^{2} t)}$

$= a cos t$

2. $https://latex.codecogs.com/svg.image?\sqrt{a^{2}+x^{2}}$ gunakan substitusi

x = a tan t atau tan t = $https://latex.codecogs.com/svg.image? \frac{x}{a}$

x = a tan t <=> $https://latex.codecogs.com/svg.image?dx = a sec^{2}t dt$

dengan $https://latex.codecogs.com/svg.image?-\frac{\pi }{2} \leq t\leq \frac{\pi }{2}$ sehingga,

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\sqrt{a^{2}+x^{2}} = \sqrt{a^{2}+(a tan t)^{2}}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?= \sqrt{a^{2}(1 + tan^{2} t)}$

= a sec t

3. $https://latex.codecogs.com/svg.image?\sqrt{x^{2}-a^{2}}$ gunakan substitusi

x = a sec t atau sec t = $https://latex.codecogs.com/svg.image? \frac{x}{a}$

x = a sec t <=> dx = a sec t tan t dt

dengan $https://latex.codecogs.com/svg.image?0=\leq t< \frac{\pi }{2}; (x\geq a)$ dan $https://latex.codecogs.com/svg.image?\frac{\pi }{2}\leq t\leq \pi ; (x\leq -a)$

sehingga,

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\sqrt{x^{2}-a^{2}} = \sqrt{(a sect)^{2}-a^{2}}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?= \sqrt{a^{2} sec^{2}t-a^{2}}$

= a tan t

Catatan

Gambar segitiga siku-siku di atas yang masing masing sisinya diketahui berguna untuk menentukan nilai fungsi trigonometri yang lain, yaitu cos t, tan t, cot t, sec t, dan csc t. Hal ini dikarenakan sangat mungkin hasil dari pengintegralan adalah fungsi-fungsi tersebut.

Contoh

Tentukan hasil pengintegralan berikut ini :

1. $https://latex.codecogs.com/svg.image?\int\frac{dx}{\sqrt{9+x^{2}}}$