INTEGRAL FUNGSI RASIONAL

Kali ini kita akan membahas materi tentang Integral Fungsi Rasional. Menurut definisi, fungsi rasional adalah suatu dari hasil bagi dua fungsi suku banyak (polinomial).

Bentuknya : $https://latex.codecogs.com/svg.image?F(x)=\frac{f(x)}{g(x)}, g(x) \neq 0,$

dimana f(x) dan g(x) merupakan fungsi suku banyak.

Fungsi rasional dibedakan menjadi dua yaitu:

1. Fungsi rasional sejati, jika derajat atau pangkat polinom pembilang [f(x)] lebih rendah dariapada derajat polinom penyebut g(x).

2. Fungsi raional tidak sejati, jika derajat atau pangkat polinom pembilang [f(x)] lebih besar daripada derajat polinom penyebut g(x).

Cara penyelesaian fungsi rasional sejati yaitu dengan cara pembagian biasa, fungsi rasional F dapat ditulis dalam bentuk:

$https://latex.codecogs.com/svg.image?F(x)= H(x)+ \frac{s(x)}{g(x)}, g(x) \neq 0,$ dengan H(x) menyatakan hasil bagi dan s(x) sisa pembagiannya yang derajatnya lebih kecil dari derajat g(x).

Semua faktor dari g(x) linear dan berbeda

g(x) = n, maka $https://latex.codecogs.com/svg.image?g(x) = (x+a_{1})(X+a_{2})...(x+a_{n})$

dengan $https://latex.codecogs.com/svg.image?a_{1},a_{2},...,a_{n}$ semuanya berbeda.

Langkah Penyelesaian:

1. Tulislah F(x) menjadi bentuk pecahan bagian dari faktor linear berikut yang

berbentuk: $https://latex.codecogs.com/svg.image?F(x) = \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A_{1}}{x-a_{1}}+\frac{A_{2}}{x-a_{2}}+...+\frac{A_{n}}{x-a_{n}}$

2. Tentukan nilai $https://latex.codecogs.com/svg.image?A_{1},A_{2},...,A_{n}$ dengan cara menyamakan enyebut diruas kanan dan sifat kesamaan dua suku banyak.

3. Berdasarkan kombinasi faktor dari penyebut pada itegran, maka hasil integralnya dapat ditentukan dengan menggunakan metode sebelumnya setelah diperoleh masing-masing konstanta.

Contoh soal:

Tentukan hasil ntegral tak tentu $https://latex.codecogs.com/svg.image?\int\frac{x^{5}-3}{x^{3}-x} dx,$ fungsi rasional tidak sejati ?

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\int\frac{x^{5}-3}{x^{3}-x} dx = \int (x^{2}+1)dx + \int \frac{(x+3)}{(x^{3}-x)} dx$

$https://latex.codecogs.com/svg.image? \frac{(x+3)}{x^{3}-x} = \frac{(x+3)}{x(x^{2}-1)} = \frac{(x+3)}{x(x-1)(x+1)}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image? \frac{(x+3)}{x(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x}+\frac{B}{(x-1)}\frac{C}{(x+1)}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image? \frac{(x+3)}{x(x-1)(x+1)} = \frac{A(x-1)(x+1)+Bx(x+1)Cx(x-1)}{x(x+1)(x-1)}$

$(x+3)= A(x-1)+Bx(x+1)+Cx(x-1)$

Kita subtstitusikan x = -1, x = 0, dan x = 1

x = -1 => (-1+3) = A (-1-1)(-1+1) + B(-1)(-1+1) + C(-1)(-1-1)

2 = A(-2)(0) - B(0) - C(-2)

2 = 2C

C = 1

x = 0 => (0+3) = A (0-1) (0+1) + B(0)(0+1) +C(0)(0-1)

3 = -A

A = -3

x = 1 => (1+3) = A(1-1)(1+1) + B(1)(1+1) + C(1) (1-1)

4 = A(0)(2) + 2B + C(0)

4 = 2B

B = 2

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\int\frac{x^{5}-3}{x^{3}-x} dx = \int (x^{2}+1)dx + \int \frac{(x+3)}{(x^{3}-x)} dx$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\int(x^{2}+1)dx + \int \left [ \frac{A}{x}+\frac{B}{(x-1)}+\frac{C}{(x+1)} \right ] dx$ $https://latex.codecogs.com/svg.image?\int(x^{2}+1)dx + \int \frac{-3}{x}dx+\int \frac{2}{(x-1)}dx + \int \frac{1}{(x+1)}dx$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\frac{1}{3}x^{3}+x-3\ln|x|+2\ln|x-1|+\ln|x+1|+C$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\frac{1}{3}x^{3}+ x +\ln x^{-3} + \ln(x-1)^{2} + \ln (x+1)+C$

Semua faktor dari g(x) linear dan berulang

Untuk faktor linear berbeda diselesaikan seperti contoh yang sebelumnya. Sedangkan faktor yang berulang (sama), maka dijadikan pecahan bagian sebanyak berulangnya. Misalnya faktor linear $https://latex.codecogs.com/svg.image?x_{k}$ terulang sebanyak r kali, maka pecahan bagian untuk faktor ini adalah:

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\frac{A_{1}}{x-x_{k}} + \frac{A_{2}}{(x-x_{k})^{2}}+...+ \frac{A_{r}}{(x-x_{k})^{r}}$

Contoh :

Tentukan integral tak tentu $https://latex.codecogs.com/svg.image?\int \frac{x+1}{x^{2}-2x+1} dx$ , fungsi rasional sejati ?

Jawab:

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\int \frac{x+1}{x^{2}-2x+1} dx = \int \frac{x+1}{(x-1)^{2}}dx$ Semua faktor dari g(x) linear dan berulang

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\frac{A_{1}}{x-x_{k}} + \frac{A_{2}}{(x-x_{k})^{2}}+...+ \frac{A_{r}}{(x-x_{k})^{r}}$

Contoh :

Tentukan integral tak tentu $https://latex.codecogs.com/svg.image?\int \frac{x+1}{x^{2}-2x+1} dx$ , fungsi rasional sejati ?

Jawab:

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\int \frac{x+1}{x^{2}-2x+1} dx = \int \frac{x+1}{(x-1)^{2}}dx$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\frac{x+1}{(x-1)^{2}}= \frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^{2}}$

$x+1=A(x-1)+B$

KIta substitusikan x = 1 => 1 + 1 = A(0-1) + 2

B = 2

x = 0 => 0 + 1 = A(0-1) + 2

A = 1

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\int\frac{x+1}{x^{2}-2x+1} dx = \int \frac{A}{x-1}dx + \int \frac{B}{(x-1)^{2}} dx$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?= \int \frac{1}{x-1}dx + \int \frac{2}{(x-1)^{2}} dx$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?= \ln |x-1|-\frac{2}{(x-1)}+ C$

nurazizahnurdin

Cari Blog Ini

INTEGRAL FUNGSI RASIONAL

Komentar

Posting Komentar