INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI

INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI

pada tanggal Maret 11, 2023

Integral tak tentu fungsi trigonometri merupakan bentuk interal yang integrannya berbentuk fungsi trigonometri dan variabel integrasinya tidak memiliki batas. Karena variabel integrasinya tidak memilki batasan, maka hasil integral tak tentu fungsi trigonometri hanyalah berupa penyelesaian umum yang juga dalam bentuk fungsi trigonometri ditambah sebuah tetapan integrasi yang disimbolkan dengan huruf C.

Sebelum kita membahas tentang integral tak tentu fungsi trigonometri. Kita harus mengetahui terlebih dahulu aturan-aturan dalam trigonometri dan sifat-sifat dari fungsinya.

$sin^{2}x+cos^{2}x=1$

$sin^{2}x=\frac{1}{2}(1-cos2x)$

$cos^{2}x=\frac{1}{2}(1+cos2x)$

$cos2x=2 sin x cos x$

$1+tan^{2}x=sec^{2}x$

$cos2x=cos^{2}x-sin^{2}x$

$cos2x=\frac{1}{2}sin^{2}x$

$1+cotg^{2}x=cosec^{2}x$

Aturan-aturan fungsi integral tak tentu fungsi trigonometri.

$\int sinx dx=-cosx+C$

$\int cosx dx=sinx+C$

$\int tanxdx=In\left|secx \right|+C$

$=-ln\left|cosx \right|+C$

$\int cotxdx=-ln\left|cscx \right|+C$

$=ln\left|sinx \right|+C$

$\int secxdx=ln\left|secx+tanx \right|+C$

$\int cscxdx=ln\left|cscx-cotx \right|+C$

$\int tanxsecxdx=secx+C$

$\int cotxcosecxdx=-cosecx+C$

$\int sin mxdx=-\frac{1}{m}cosmx$

$\int cos nxdx=\frac{1}{n}sinnx$

Untuk lebih memahami materi tentang integral tak tentu fungsi trigonometri kita bisa melihat contohnya sebagai berikut :

Contoh :

1. Tentukan integral tak tentu

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\int\left ( (x^{3})+sinx \right )dx$

Penyelesaian :

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\int\left ( (x^{3})+sinx \right )dx$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\int x^{3}dx+\int sinxdx$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\frac{1}{4}x^{4}+(-cosx+C)$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\frac{1}{4}x^{4}-(cosx+C)$

2. Tentukan integral tak tentu

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\int (sinx-cosx)^{^{2}}dx$

Penyelesaian :

Perhatikan bentuk persamaan awalnya, yaitu:

$https://latex.codecogs.com/svg.image?(sinx-cosx)^{2}$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=sin^{2}x-2sinxcosx+cos^{2}x$

Dikarenakan sesuai sifat-sifat trigonometri :

$https://latex.codecogs.com/svg.image?sin^{2}x+cos^{2}x=1$

$sin2x=2sinxcosx$

Maka

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=sin^{2}x-2sinxcosx+cos^{2}x$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=(sin^{2}x+cos^{2}x)-(2sinxcosx)$

$=1-sin 2x$

Sehingga :

$https://latex.codecogs.com/svg.image?\int(sinx-cosx)^{2}dx=\int (1-sin2x) dx$

$https://latex.codecogs.com/svg.image?=\int 1dx-\int sin2xdx$

Komentar